Menurut Aku, kebanyakan orang tahu cara mencari determinant dari nxn matrix, namun jarang yang mengerti apa yang dimaksud dengan determinant itu sendiri. Kebanyakan orang hanya mencari determinant dari nxn matrix, dan selesai sudah. Ketika, aku belajar Math I,II,III, IV di suatu perguruan tinggi, terlintas dalam benakku, sebenarnya apa sih yang dimaksud dengan determinant, pikirku. Pasti Pembaca lebih mengerti dari saya tentang fungsi dari determinant. Determinant sangat penting untuk menghitung atau mencari Inverse Matrix, Eigen value, Eigenvector, dan masih banyak lagi penggunaan determinant untuk menyelesaikan persamaan di dalam Linear Algebra Equation, kurang lebih bisa dibilang begitu. Tanpa berbasa-basi lagi, Aku sudah mencari literature dari internet dan buku dari perpustakaan dan hasilnya bisa dilihat dibawah ini.

    Internet

Sumber: http://mathforum.org/library/drmath/view/51440.html

Berdasarkan sumber diatas, definisi determinant dapat dilihat dari “Segi Geometri” dan “Segi Aljabar”.

Segi Geometri

Asumsikan kita mempunyai matriks nxn, n adalah bilangan bulat positif, dan kita buat plot atau kurva. Jika n=1, kita memiliki determinant matriks 1×1 yang bisa diartikan  matriks yang mempunyai 1 dimensi(panjang). Sehingga nilai dari determinant itu sendiri, adalah panjang dari titik O(titik awal) ke suatu titik(titik akhir). Misalnya kita mempunyai matriks [6], matriks 1×1, maka nilai determinant nya adalah 6.

Jika n=2, kita dapat menyebutnya matriks berdimensi 2( panjang dan lebar) dan asumsikan kita mempunyai matriks(x,y)-> (2,0) dan (0,4) kemudian kita membuat kurva xy dan kita plot matriks tersebut. Sekilas nampak bahwa, dari titik awal terhadap sumbu y mempunyai vector panjangnya 4 unit, dan terhadap sumbu x, vector panjangnya(lebar) 2 unit. Dengan demikian kita dapat membuat bangun datar dengan cara membuat titik dari penjumlahan 2 vektor->(2,4). Luas bidang datar itulah nilai dari determinant matriks 2×2.

Jika n=3, maka tentu saja matriks tersebut mempunyai 3 dimensi, panjang, lebar, tinggi. Dengan cara membentuk bidang datar-bidang datar(seperti pada n=2) dan pada akhirnya membentuk suatu bangun, kita dapat menentukan volume dari bangun tersebut dan itulah nilai determinant dari matriks 3×3.

Sebenarnya jika kita amati baik, n=1,2,3,…. Nilai determinant dari matriks tersebuat adalah “nilai ruang” dari matriks tersebut.

Untuk konsep, mirip dengan konsep  Euclidean Space, mungkin dapat menjadi refrensi.

Segi Aljabar

Jika dilihat dari segi Aljabar, determinant adalah jumlah nilai perkalian element matriks dari penyusunan kembali set permutasi n!. Mungkin sangat sulit jika kita membayangkan saja, untuk lebih jelas, mari kita lihat penyusunan dibawah.

Kita mempunya matriks A seperti dibawah.

|a11  a12  a13|

|a21  a22  a23|

|a31  a32  a33|

Matriks di atas mempunyai nilai n=3, sehingga kita dapatkan 6 buah susunan.(3! = 6). Ketika melakukan permutasi, jumlah switching ganjil maka dikalikan dengan “-1”, jika genap dikalikan dengan “+1”.

Permutasi

ke-

Susunan

Kolom

Susunan

Baris

Jumlah

Switching

Hasil

Permutasi

1 1-2-3 1-2-3 0 a11*a22*a33
2 1-2-3 1-3-2 1 -a11*a23*a32
3 1-2-3 2-1-3 1 -a12*a21*a33
4 1-2-3 2-3-1 2 a12*a23*a31
5 1-2-3 3-1-2 2 a13*a21*a32
6 1-2-3 3-2-1 1 -a13*a22*a31

Dengan ini kita mendapatkan nilai determinant melalui menjumlahkan hasil dari permutasi di atas. Dengan cara yang sama kita dapat menentukan nilai determinant dari matriks nxn. Matriks dengan orde 4×4 berarti mempunyai 24 buah hasil permutasi, matriks dengan orde 5×5 berarti mempunyai 120 buah hasil permutasi, dan seterusnya tinggal menjumlahkan hasil tersebut. (Cara ini, juga dinamakan Leibniz Formula yaitu menjumlahkan hasil-hasil permutasi)

    Kamus Matematika

Saya ambil dari Mathematica 事典(Kamus Matematika yang diterjemahkan dalam bahasa jepang) yang disusun oleh N. Blackman

“Det[m]は正方行列mの行列式を返す。Mathematica における行列は長さの等しいリストのリストで与えられる。整数行列の標数p(Zp)逆行列の計算にはPseudo Inverseを使用する。”

“Determinant dari matriks persegi berorder m dinyatakan dalam Det[m]. Di dalam Mathematica(kamus ini), yang dimaksud matriks tersebut adalah matriks yang mempunya panjang yang sama(jumlah kolom dan jumlah baris sama).  Dalam penghitungan Inverse Matrix(Zp) yang mempunyai order p, menggunakan sifat pseudomatrix.”

(Kurang lebih terjemahannya seperti itu)

Secara singkat, pengertian determinant tidak dapat diartikan dalam satu titik pandangan saja. Karena determinant dapat dijelaskan melalui teori geometri maupun aljabar itu sendiri. Menurutku, determinant adalah sebuah “volume” dari matriks nxn yang volume itu dapat dicari dengan menggunakan fungsi permutasi seperti Sarrus’ Rule, Leibniz Formula ataupun dengan fungsi lain seperti Cramer’s Rule,Laplace Formula. Jika sedikit mereview dari pengertian determinant di atas, masih belum terbayangkan jika ada dimensi 4, 5 ,6,… dan seterusnya, mungkin Aku harus membaca tentang Euclidean Space Theorems…hahahha. Menurut guru matematika univ.-ku, untuk mencari determinant berorder 3 ke atas, sebaiknya matriks direduksi dulu (tanpa merubah nilai determinant) sampai berorder 3(ada caranya loh!!!), kemudian seperti biasa kita mencari determinant itu, lebih gampang dan ringan, dibandingkan kita mencari dengan permutasi di atas, karena hasilnya tetep sama

Memang ada perbedaan besar ketika kita mencari sebuah definisi dari kamus dan dibandingkan dengan kita mencari teorinya langsung, tetapi tidak semua seperti itu. Hanya saja, mungkin untuk definisi yang merujuk ke sebuah teori, kita lebih enak mencarinya lewat buku-buku yang berkaitan. Tulisan ini, aku anggap langkah awal aku menulis tentang definisi determinant, mungkin dibuku lain akan berbicara dengan gaya yang berbeda. Jika ada informasi lebih lanjut, Aku akan mengupdate tulisan ini. Aku hanya berharap, apa yang aku pahami dan aku pikirkan bisa membuka manfaat bagi orang lain.hehehe…

About these ads
Comments
  1. Aria Turns says:

    Tulisan yang bagus, banayk orang yang tahu cara menghitung deterninan tapi tidak tahu determinan itu apa..

    • waroengunix says:

      Terima kasih Mas Aria atas komennya, saya hanya tergelitik ketika dari SMA sampe sekarang sering menghitungnya, tapi baru tahu definisinya sekarang. hehehe

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s